Examen de Cálculo: Límites y Continuidad
Preguntas del examen
Calcula el límite de 3x + 1 cuando x tiende a 2.
Calcula lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
¿Cuál es lim(x→0) sen(x)/x, cuando x se expresa en radianes?
Calcula lim(x→∞) (2x² + 3)/(x² − 1).
Calcula lim(x→1) (x² + 2x).
Calcula lim(x→0) (√(x + 4) − 2)/x.
Calcula lim(x→1) (x³ − 1)/(x − 1).
Una función se define como f(x) = x² para x ≠ 2 y f(2) = k. ¿Qué valor de k hace continua la función en x = 2?
Calcula lim(x→0) (1 − cos x)/x², con x en radianes.
Calcula lim(x→∞) (5x + 1)/(2x − 3).
Solucionario con explicaciones
(ver respuestas)
- Calcula el límite de 3x + 1 cuando x tiende a 2.
Respuesta: c) 7.
La función es continua. Sustituimos x = 2: 3(2) + 1 = 7.
- Calcula lim(x→3) (x² − 9)/(x − 3).
Respuesta: b) 6.
Factorizamos x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Simplificamos para x ≠ 3 y evaluamos el límite: 3 + 3 = 6.
- ¿Cuál es lim(x→0) sen(x)/x, cuando x se expresa en radianes?
Respuesta: d) 1.
Es un límite trigonométrico fundamental: lim(x→0) sen(x)/x = 1 si x está expresado en radianes.
- Calcula lim(x→∞) (2x² + 3)/(x² − 1).
Respuesta: a) 2.
Dividimos numerador y denominador entre x². Los términos con 1/x² tienden a cero y queda 2/1 = 2.
- Calcula lim(x→1) (x² + 2x).
Respuesta: e) 3.
Por continuidad, sustituimos x = 1: 1² + 2(1) = 3.
- Calcula lim(x→0) (√(x + 4) − 2)/x.
Respuesta: b) 1/4.
Racionalizamos multiplicando por √(x + 4) + 2. Queda 1/(√(x + 4) + 2), cuyo límite es 1/4.
- Calcula lim(x→1) (x³ − 1)/(x − 1).
Respuesta: d) 3.
Factorizamos x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). El límite es 1 + 1 + 1 = 3.
- Una función se define como f(x) = x² para x ≠ 2 y f(2) = k. ¿Qué valor de k hace continua la función en x = 2?
Respuesta: a) 4.
Para que la función sea continua en x = 2, debe cumplirse f(2) = lim(x→2) x² = 4.
- Calcula lim(x→0) (1 − cos x)/x², con x en radianes.
Respuesta: c) 1/2.
Utilizando el límite trigonométrico fundamental o la identidad 1 − cos x = 2sen²(x/2), se obtiene 1/2.
- Calcula lim(x→∞) (5x + 1)/(2x − 3).
Respuesta: e) 5/2.
Como numerador y denominador son polinomios de primer grado, el límite es la razón de sus coeficientes principales: 5/2.
Sobre este examen
- Preguntas: 10 de opción múltiple con una sola respuesta correcta
- Tiempo recomendado: unos 15 minutos (1,5 min por pregunta)
- Corrección: automática, con explicación de cada respuesta
- Alternativas: a) a e), con una respuesta correcta
Qué evalúa: Resuelve diez problemas sobre límites algebraicos, límites trigonométricos, límites al infinito y continuidad de funciones.
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