Examen de Cálculo Diferencial e Integral
Preguntas del examen
¿Cuál es la derivada de f(x) = x³?
Deriva f(x) = 5x² − 4x + 7.
¿Cuál es la derivada de sen(x) respecto de x en radianes?
¿Cuál es la derivada de e^(2x)?
¿Cuál es la derivada de ln(x), con x > 0?
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a y = x² + 2x cuando x = 1?
¿Cuál es la integral indefinida de 2x respecto de x?
Calcula la integral definida de 3x² desde x = 0 hasta x = 2.
¿Cuál es la integral indefinida de cos(x)?
¿Cuál es la derivada de f(x) = (x² + 1)(x − 1)?
Solucionario con explicaciones
(ver respuestas)
- ¿Cuál es la derivada de f(x) = x³?
Respuesta: c) 3x².
Aplicamos la regla de la potencia: d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹. Para n = 3, resulta 3x².
- Deriva f(x) = 5x² − 4x + 7.
Respuesta: b) 10x − 4.
La derivada de 5x² es 10x, la de −4x es −4 y la de la constante 7 es cero.
- ¿Cuál es la derivada de sen(x) respecto de x en radianes?
Respuesta: d) cos(x).
La regla trigonométrica establece que d[sen(x)]/dx = cos(x).
- ¿Cuál es la derivada de e^(2x)?
Respuesta: a) 2e^(2x).
Aplicamos la regla de la cadena: la derivada de e^u es e^u por u'. Como u = 2x, u' = 2.
- ¿Cuál es la derivada de ln(x), con x > 0?
Respuesta: e) 1/x.
La derivada del logaritmo natural es 1/x en su dominio real positivo.
- ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a y = x² + 2x cuando x = 1?
Respuesta: b) 4.
Derivamos: y' = 2x + 2. Evaluando en x = 1 resulta 2(1) + 2 = 4.
- ¿Cuál es la integral indefinida de 2x respecto de x?
Respuesta: c) x² + C.
Como la derivada de x² es 2x, entonces ∫2x dx = x² + C.
- Calcula la integral definida de 3x² desde x = 0 hasta x = 2.
Respuesta: a) 8.
Una primitiva de 3x² es x³. Evaluamos [x³] de 0 a 2: 2³ − 0³ = 8.
- ¿Cuál es la integral indefinida de cos(x)?
Respuesta: d) sen(x) + C.
Como la derivada de sen(x) es cos(x), una primitiva de cos(x) es sen(x).
- ¿Cuál es la derivada de f(x) = (x² + 1)(x − 1)?
Respuesta: e) 3x² − 2x + 1.
Expandimos: f(x) = x³ − x² + x − 1. Derivando término a término obtenemos 3x² − 2x + 1.
Sobre este examen
- Preguntas: 10 de opción múltiple con una sola respuesta correcta
- Tiempo recomendado: unos 15 minutos (1,5 min por pregunta)
- Corrección: automática, con explicación de cada respuesta
- Alternativas: a) a e), con una respuesta correcta
Qué evalúa: Practica diez ejercicios de derivadas, reglas de diferenciación, integrales indefinidas y cálculo de áreas mediante integración.
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